112.j

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Za $x>0$ je $e^x>1 ,$ pa je brojilac $e^x-1$ pozitivan i manji od imenioca $e^x+1 .$ Razlomak je zato između $0$ i $1 ,$ a logaritam takvog broja je negativan. Zapišimo $\frac{e^x-1}{e^x+1}=1-\frac{2}{e^x+1} :$ kada $x$ raste, $e^x+1$ raste, $\frac{2}{e^x+1}$ opada, pa razlomak raste i prolazi sve vrednosti između $0$ i $1 .$ Posmatramo $f:(0,+\infty)\to(-\infty,0) .$

Za svako $y<0$ postoji tačno jedno rešenje $x>0 ,$ pa je funkcija bijekcija. Provera: za $x=\ln3$ je $f(\ln3)=\ln\frac{3-1}{3+1}=\ln\frac12 ,$ a formula daje $\ln\frac{1+\frac12}{1-\frac12}=\ln3 .$ Slaže se.

Rešenje: $f^{-1}(x)=\ln\frac{1+e^x}{1-e^x} ,$ $x<0 .$

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$