5173. Složena funkcija i inverzna funkcija

Logaritam je definisan samo za pozitivan argument, pa mora biti $\frac{2+x}{2-x}>0 .$ Razlomak je pozitivan kada su brojilac i imenilac istog znaka. Oba pozitivna: $x>-2$ i $x<2 .$ Oba negativna: $x<-2$ i $x>2$ istovremeno, što je nemoguće. Dakle:

D=(-2,2)

Podsetimo se: nula funkcije $f:A\to\mathbb{R}$ je svaki realan broj $x_0\in A$ za koji je $f(x_0)=0 .$ To su apscise tačaka u kojima grafik seče $x$ -osu. Ispitati znak znači utvrditi za koje $x$ je $f(x)>0$ (grafik iznad $x$ -ose), a za koje $f(x)<0$ (grafik ispod $x$ -ose).

Logaritam je jednak nuli kada mu je argument $1$ (jer je $2^0=1$ ):

\frac{2+x}{2-x}=1 \iff 2+x=2-x \iff 2x=0 \iff x=0

Funkcija $\log_2$ je rastuća, pa je $\log_2u>0$ kada je $u>1 ,$ a $\log_2u<0$ kada je $0<u<1 .$ Upoređujemo argument sa $1 :$

\frac{2+x}{2-x}-1=\frac{2+x-(2-x)}{2-x}=\frac{2x}{2-x}

Na oblasti $(-2,2)$ imenilac $2-x$ je pozitivan, pa znak razlike zavisi samo od $x .$ Za $x\in(0,2)$ razlika je pozitivna, argument je veći od $1$ i $f(x)>0 .$ Za $x\in(-2,0)$ argument je manji od $1$ i $f(x)<0 .$ Na primer, $f(1)=\log_23>0 ,$ a $f(-1)=\log_2\frac13<0 .$

Podsetimo se definicija: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je parna ako je skup $A$ simetričan u odnosu na $0$ (iz $x\in A$ sledi $-x\in A$ ) i ako za svako $x\in A$ važi $f(-x)=f(x) .$ Neparna je ako je $A$ simetričan u odnosu na $0$ i za svako $x\in A$ važi $f(-x)=-f(x) .$ Ako oblast definisanosti nije simetrična, funkcija ne može biti ni parna ni neparna.

Interval $(-2,2)$ je simetričan u odnosu na $0 .$ Zamenom $x$ sa $-x$ brojilac i imenilac zamene mesta, a logaritam recipročnog broja je suprotan broj ( $\log_2\frac1u=-\log_2u$ ):

f(-x)=\log_2\frac{2-x}{2+x}=\log_2\left(\frac{2+x}{2-x}\right)^{-1}=-\log_2\frac{2+x}{2-x}=-f(x)

Rešenje: $D=(-2,2)$ ; nula je $x=0$ ; $f(x)>0$ za $x\in(0,2) ,$ $f(x)<0$ za $x\in(-2,0)$ ; funkcija je neparna.

Započni učenje

Online časovi

113.a

Beleške