5182. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Najpre proverimo da je funkcija definisana za svako $x ,$ tj. da je $x+\sqrt{x^2+1}>0 .$ Za $x\geq0$ je to jasno. Za $x<0$ je $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=-x$ (npr. $\sqrt{(-3)^2+1}=\sqrt{10}>3$ ), pa je zbir opet pozitivan. Stepen broja $10$ je uvek pozitivan, pa su vrednosti u $(0,+\infty) .$

Rešavamo jednačinu $f(x)=y$ za $y>0 .$ Ovde je $\log$ dekadni logaritam (osnova $10$ ). Logaritmujemo obe strane za osnovu $10 :$ po definiciji, $\log y$ je eksponent na koji treba stepenovati $10$ da se dobije $y :$

10^{\log_2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}=y \implies \log_2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=\log y

Sada po definiciji logaritma za osnovu $2 .$ Da bi formule bile kraće, označimo $s=2^{\log y}$ ; to je pozitivan broj:

x+\sqrt{x^2+1}=2^{\log y}=s

Ostavimo koren sam na levoj strani i kvadriramo. Član $x^2$ se pojavljuje na obe strane i poništi se:

\sqrt{x^2+1}=s-x \implies x^2+1=s^2-2sx+x^2 \implies 2sx=s^2-1 \implies x=\frac{s^2-1}{2s}=\frac12\left(s-\frac1s\right)

Kvadriranje može uneti lažno rešenje, pa proveravamo da je desna strana $s-x$ pozitivna (jer koren ne može biti negativan): $s-x=s-\frac{s^2-1}{2s}=\frac{s^2+1}{2s}>0 .$ U redu je. Dakle, za svako $y>0$ postoji tačno jedno rešenje i funkcija je bijekcija. Vraćamo $s=2^{\log y}$ i $\frac1s=2^{-\log y} :$

x=\frac12\left(2^{\log y}-2^{-\log y}\right)

Provera: za $x=0$ je $f(0)=10^{\log_21}=10^0=1 ,$ a formula za $y=1$ daje $\frac12\left(2^0-2^0\right)=0 .$ Za $y=10 :$ $\log10=1 ,$ pa $x=\frac12\left(2-\frac12\right)=\frac34$ ; zaista $\frac34+\sqrt{\frac{9}{16}+1}=\frac34+\frac54=2$ i $f\left(\frac34\right)=10^{\log_22}=10 .$

Rešenje: $f^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb{R} ,$ $f^{-1}(x)=\frac12\left(2^{\log x}-2^{-\log x}\right) ,$ gde je $\log$ dekadni logaritam.

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$

Započni učenje

Online časovi

118.a

Beleške