118.b

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Kako je $e^{2x}>0 ,$ broj pod korenom je veći od $1 ,$ pa je $\sqrt{1+e^{2x}}>1$ i $f(x)<-1 .$ Vrednosti su zaista u $(-\infty,-1) .$

Kvadriranje je ovde bezbedno jer su obe strane jednačine $\sqrt{1+e^{2x}}=-y$ pozitivne. Za svako $y<-1$ postoji tačno jedno rešenje, pa je funkcija bijekcija. Provera: $f(0)=-\sqrt2 ,$ a formula daje $\frac12\ln(2-1)=\frac12\ln1=0 .$ Slaže se.

Rešenje: $f^{-1}:(-\infty,-1)\to\mathbb{R} ,$ $f^{-1}(x)=\frac12\ln(x^2-1) .$

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$