118.v

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Deljenje je moguće jer je $e^y+1>0 .$ Proverimo da je rešenje u intervalu $(-2,3) :$ $x+2=\frac{3-2e^y+2e^y+2}{e^y+1}=\frac{5}{e^y+1}>0$ i $3-x=\frac{3e^y+3-3+2e^y}{e^y+1}=\frac{5e^y}{e^y+1}>0 .$ Za svako realno $y$ postoji tačno jedno rešenje, pa je funkcija bijekcija.

Provera: $f\left(\frac12\right)=\ln\frac{\frac52}{\frac52}=\ln1=0 ,$ a formula za $y=0$ daje $\frac{3-2}{1+1}=\frac12 .$ Slaže se.

Rešenje: $f^{-1}:\mathbb{R}\to(-2,3) ,$ $f^{-1}(x)=\frac{3-2e^x}{e^x+1} .$

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$