5185. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Pravila iz gradiva: ako postoje $\lim_{x\to x_0}f(x)=a$ i $\lim_{x\to x_0}g(x)=b ,$ onda je granična vrednost zbira, razlike i proizvoda jednaka zbiru, razlici i proizvodu graničnih vrednosti, a granična vrednost količnika je $\frac ab ,$ ako je $b\neq0 .$ Posledica: za polinome, razlomke, korene, stepene i trigonometrijske funkcije koje su definisane u tački $x_0$ granična vrednost je jednaka vrednosti funkcije u toj tački — dovoljno je uvrstiti $x_0 .$

Funkcija $f(x)=x^2-3x+2$ je polinom, definisan za svako realno $x ,$ pa i za $x=4 .$ Granična vrednost je zato jednaka vrednosti polinoma u tački $4 :$

\lim_{x\to4}(x^2-3x+2)=4^2-3\cdot4+2=16-12+2=6

Proverimo brojevima da se vrednosti zaista približavaju tom broju kada se $x$ približava tački sa leve strane:

\begin{gathered}x=3{,}9:\ f(x)=5{,}51 \\ x=3{,}99:\ f(x)=5{,}9501 \\ x=3{,}999:\ f(x)\approx5{,}995\end{gathered}

I sa desne strane:

\begin{gathered}x=4{,}1:\ f(x)=6{,}51 \\ x=4{,}01:\ f(x)=6{,}0501 \\ x=4{,}001:\ f(x)\approx6{,}005\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to4}(x^2-3x+2)=6 .$

Započni učenje

Online časovi

119.a

Beleške