115.a

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Rešenje je jedinstveno. Treba još proveriti da ono nije zabranjeni broj $-\frac dc .$ Kada bi bilo $\frac{b-dy}{cy-a}=-\frac dc ,$ množenjem bismo dobili $c(b-dy)=-d(cy-a) ,$ tj. $bc-cdy=-cdy+ad ,$ odnosno $bc=ad .$ To je suprotno uslovu $ad\neq bc ,$ pa rešenje uvek pripada oblasti definisanosti.

Na isti način se vidi zašto je izbačeno $y=\frac ac :$ jednačina $\frac{ax+b}{cx+d}=\frac ac$ daje $acx+bc=acx+ad ,$ tj. $bc=ad ,$ što nije moguće. Ta vrednost se nikad ne dostiže. (Uslov $ad\neq bc$ je bitan: kada bi bilo $ad=bc ,$ funkcija bi bila konstantna, npr. $\frac{2x+4}{x+2}=2 ,$ i ne bi imala inverznu.)

Za svako $y\neq\frac ac$ postoji tačno jedno $x\neq-\frac dc ,$ pa je funkcija bijekcija i ima inverznu funkciju. Na primer, za $y=\frac{x+1}{x-1}$ ($a=b=c=1 ,$ $d=-1$) formula daje $x=\frac{1+y}{y-1} :$ za $x=3$ je $y=2 ,$ a $\frac{1+2}{2-1}=3 .$

Rešenje: da, funkcija ima inverznu funkciju $y=\frac{b-dx}{cx-a} ,$ $x\neq\frac ac .$