5604. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: ako su $f$ i $f^{-1}$ uzajamno inverzne i neprekidne, $f$ diferencijabilna u $x_0$ i $f'(x_0)\neq0 ,$ tada je $(f^{-1})'(y_0)=\frac1{f'(x_0)} ,$ gde je $y_0=f(x_0) .$ U tekstu zadatka štampano je $\frac1{f(x)} ,$ ali je očigledno reč o $\frac1{f'(x)}$ (sa $f(x)$ jednakost ne bi važila ni u najprostijem primeru), pa proveravamo $\varphi'(y)=\frac1{f'(x)} .$

Iz $y=2^{x-1} ,$ $y>0 ,$ logaritmovanjem za osnovu $2$ dobijamo $x-1=\log_2y :$

x=\varphi(y)=1+\log_2y

Izvodi, po pravilima $(\log_ay)'=\frac1{y\ln a}$ i $(a^u)'=a^u\ln a\cdot u' :$

\varphi'(y)=\frac1{y\ln2}, \qquad f'(x)=2^{x-1}\ln2

Pošto je $2^{x-1}=y ,$ dobijamo $f'(x)=y\ln2 :$

\frac1{f'(x)}=\frac1{y\ln2}=\varphi'(y)

Inverzna funkcija je $\varphi(y)=1+\log_2y$ i jednakost $\varphi'(y)=\frac1{f'(x)}$ je tačna.

Započni učenje

Online časovi

198.v

Beleške