5602. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: ako su $f$ i $f^{-1}$ uzajamno inverzne i neprekidne, $f$ diferencijabilna u $x_0$ i $f'(x_0)\neq0 ,$ tada je $(f^{-1})'(y_0)=\frac1{f'(x_0)} ,$ gde je $y_0=f(x_0) .$ U tekstu zadatka štampano je $\frac1{f(x)} ,$ ali je očigledno reč o $\frac1{f'(x)}$ (sa $f(x)$ jednakost ne bi važila ni u najprostijem primeru), pa proveravamo $\varphi'(y)=\frac1{f'(x)} .$

Iz $y=\frac{x-1}{x+3}$ izražavamo $x :$ množimo sa $x+3 ,$ pa sve sa $x$ prebacujemo na jednu stranu:

yx+3y=x-1 \implies x(y-1)=-1-3y \implies x=\varphi(y)=\frac{1+3y}{1-y}

Izvod inverzne funkcije, po pravilu za količnik $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} :$

\varphi'(y)=\frac{3(1-y)-(1+3y)(-1)}{(1-y)^2}=\frac4{(1-y)^2}

Izvod same funkcije:

f'(x)=\frac{(x+3)-(x-1)}{(x+3)^2}=\frac4{(x+3)^2}

Da bismo uporedili, izražavamo $1-y$ preko $x :$ $1-y=1-\frac{x-1}{x+3}=\frac4{x+3} .$ Tada je:

\varphi'(y)=\frac4{\left(\frac4{x+3}\right)^2}=\frac{(x+3)^2}4=\frac1{f'(x)}

Inverzna funkcija je $\varphi(y)=\frac{1+3y}{1-y} ,$ $y\neq1 ,$ i važi $\varphi'(y)=\frac{(x+3)^2}4=\frac1{f'(x)} .$

Započni učenje

Online časovi

198.b

Beleške