5603. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: ako su $f$ i $f^{-1}$ uzajamno inverzne i neprekidne, $f$ diferencijabilna u $x_0$ i $f'(x_0)\neq0 ,$ tada je $(f^{-1})'(y_0)=\frac1{f'(x_0)} ,$ gde je $y_0=f(x_0) .$ U tekstu zadatka štampano je $\frac1{f(x)} ,$ ali je očigledno reč o $\frac1{f'(x)}$ (sa $f(x)$ jednakost ne bi važila ni u najprostijem primeru), pa proveravamo $\varphi'(y)=\frac1{f'(x)} .$

Iz $y=\operatorname{arctg}\frac x3 ,$ $y\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) ,$ sledi $\frac x3=\operatorname{tg}y :$

x=\varphi(y)=3\operatorname{tg}y

Izvod inverzne funkcije je $\varphi'(y)=\frac3{\cos^2y} .$ Izvod same funkcije, po pravilu za složenu funkciju:

f'(x)=\frac1{1+\frac{x^2}9}\cdot\frac13=\frac3{9+x^2}

Uvrštavamo $x=3\operatorname{tg}y$ i koristimo $1+\operatorname{tg}^2y=\frac1{\cos^2y} :$

f'(x)=\frac3{9+9\operatorname{tg}^2y}=\frac3{\frac9{\cos^2y}}=\frac{\cos^2y}3 \implies \frac1{f'(x)}=\frac3{\cos^2y}=\varphi'(y)

Inverzna funkcija je $\varphi(y)=3\operatorname{tg}y ,$ a jednakost $\varphi'(y)=\frac3{\cos^2y}=\frac1{f'(x)}$ važi.

Započni učenje

Online časovi

198.g

Beleške