5595. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Iz gradiva: $(\arcsin u)'=\frac1{\sqrt{1-u^2}}$ za $|u|<1$ i $(\operatorname{arctg}u)'=\frac1{1+u^2} .$

Unutrašnja funkcija je $w=\frac{2x^2}{1+x^4} .$ Po pravilu za količnik:

w'=\frac{4x(1+x^4)-2x^2\cdot4x^3}{(1+x^4)^2}=\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}

Pod korenom je $1-w^2$ ; brojilac razvijamo kao kvadrat razlike:

1-w^2=\frac{(1+x^4)^2-4x^4}{(1+x^4)^2}=\frac{(1-x^4)^2}{(1+x^4)^2}

Pošto je $|x|<1 ,$ broj $1-x^4$ je pozitivan, pa je $\sqrt{1-w^2}=\frac{1-x^4}{1+x^4}$ (i $|w|<1 ,$ pa izvod postoji). Množimo:

y'=\frac{1+x^4}{1-x^4}\cdot\frac{4x(1-x^4)}{(1+x^4)^2}=\frac{4x}{1+x^4}

Provera: u tački $x=\frac12$ dobijena formula daje $y'(\frac12)\approx1{,}8824 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx1{,}8825 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $|x|<1$ je $y'=\frac{4x}{1+x^4} .$

Započni učenje

Online časovi

196.a

Beleške