5536. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Praktično: izvod spoljašnje funkcije, računat u unutrašnjoj, množimo izvodom unutrašnje funkcije. Iz gradiva $(\arcsin u)'=\frac1{\sqrt{1-u^2}}$ za $|u|<1 .$ Funkcija je definisana za svako $x ,$ jer je $|\sin x|\le1 .$

Unutrašnja funkcija je $u=\sin x ,$ $u'=\cos x .$ Izvod postoji kada je $|\sin x|<1 ,$ tj. $\cos x\neq0 :$

y'=\frac1{\sqrt{1-\sin^2x}}\cdot\cos x=\frac{\cos x}{\sqrt{\cos^2x}}

Opet pazimo na $\sqrt{\cos^2x} :$ ako je $\cos x>0 ,$ onda je $\sqrt{\cos^2x}=\cos x$ ; ako je $\cos x<0 ,$ onda je $\sqrt{\cos^2x}=-\cos x .$ Na primer, za $x=2$ je $\cos2\approx-0{,}416$ i $\sqrt{\cos^22}\approx0{,}416 :$

y'=\begin{cases} 1, & \cos x>0 \\ -1, & \cos x<0 \end{cases}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx1 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx1 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Izvod je $y'=1$ gde je $\cos x>0$ i $y'=-1$ gde je $\cos x<0$ ; u tačkama $x=\frac\pi2+k\pi$ izvod ne postoji.

Započni učenje

Online časovi

186.n

Beleške