5537. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Praktično: izvod spoljašnje funkcije, računat u unutrašnjoj, množimo izvodom unutrašnje funkcije. Potrebno je $x\neq-1 .$

Unutrašnja funkcija je $u=\frac x{x+1} .$ Po pravilu za količnik $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} :$

u'=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\frac1{(x+1)^2}

Spoljašnja funkcija $u^3$ ima izvod $3u^2 :$

y'=3\left(\frac x{x+1}\right)^2\cdot\frac1{(x+1)^2}=\frac{3x^2}{(x+1)^4}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx0{,}1875 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}1875 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x\neq-1$ je $y'=\frac{3x^2}{(x+1)^4} .$

Započni učenje

Online časovi

186.nj

Beleške