5535. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Praktično: izvod spoljašnje funkcije, računat u unutrašnjoj, množimo izvodom unutrašnje funkcije. Iz gradiva $(\arcsin u)'=\frac1{\sqrt{1-u^2}}$ za $|u|<1 .$

Arkus sinus traži $-1\le\frac2x\le1 ,$ što važi za $x\ge2$ ili $x\le-2 .$ Izvod postoji kada je $\left|\frac2x\right|<1 ,$ tj. za $x>2$ ili $x<-2 .$ Unutrašnja funkcija je $u=\frac2x ,$ $u'=-\frac2{x^2} :$

y'=\frac1{\sqrt{1-\frac4{x^2}}}\cdot\left(-\frac2{x^2}\right)

Pod korenom svodimo na zajednički imenilac: $\sqrt{1-\frac4{x^2}}=\frac{\sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x^2}} .$ Pazite: $\sqrt{x^2}$ nije uvek $x !$ Za $x>0$ je $\sqrt{x^2}=x ,$ a za $x<0$ je $\sqrt{x^2}=-x$ (npr. $\sqrt{(-5)^2}=5=-(-5)$ ):

y'=-\frac2{x^2}\cdot\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2-4}}

Razdvajamo slučajeve. Za $x>2$ je $\sqrt{x^2}=x ,$ a za $x<-2$ je $\sqrt{x^2}=-x :$

y'=-\frac2{x\sqrt{x^2-4}}\ \text{za } x>2, \qquad y'=\frac2{x\sqrt{x^2-4}}\ \text{za } x<-2

Provera: u tački $x=3$ dobijena formula daje $y'(3)\approx-0{,}2981 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx-0{,}2981 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Izvod je $y'=-\frac2{x\sqrt{x^2-4}}$ za $x>2$ i $y'=\frac2{x\sqrt{x^2-4}}$ za $x<-2$ ; u oba slučaja je negativan.

Započni učenje

Online časovi

186.m

Beleške