5592. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: ako je $f(x)>0$ diferencijabilna, onda je $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Po pravilu za izvod količnika, za $g(x)\neq0$ važi $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} .$ Izraz $x+\sqrt{x^2+1}$ je uvek pozitivan; zbog razlomka $x\neq0 .$

Kao u prethodnom primeru, $\left[\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]'=\frac1{\sqrt{x^2+1}} .$ Drugi sabirak po pravilu za količnik:

\left(\frac{\sqrt{x^2+1}}x\right)'=\frac{\frac x{\sqrt{x^2+1}}\cdot x-\sqrt{x^2+1}}{x^2}=\frac{x^2-(x^2+1)}{x^2\sqrt{x^2+1}}=-\frac1{x^2\sqrt{x^2+1}}

Oduzimamo (minus i minus daju plus) i svodimo na imenilac $x^2\sqrt{x^2+1} :$

y'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}+\frac1{x^2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x^2+1}{x^2\sqrt{x^2+1}}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx1{,}4142 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx1{,}4141 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x\neq0$ je $y'=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2} .$

Započni učenje

Online časovi

195.đ

Beleške