5587. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: ako je $f(x)>0$ diferencijabilna, onda je $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Potrebno je $\frac x{x+1}>0 ,$ tj. $x<-1$ ili $x>0 .$

Za $f(x)=\frac x{x+1}$ je $f'(x)=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac1{(x+1)^2} ,$ pa je:

\left[\ln\frac x{x+1}\right]'=\frac{\frac1{(x+1)^2}}{\frac x{x+1}}=\frac1{x(x+1)}

Dodajemo izvod prvog sabirka, $\left(\frac1{1+x}\right)'=-\frac1{(1+x)^2} ,$ i svodimo na imenilac $x(x+1)^2 :$

y'=-\frac1{(x+1)^2}+\frac1{x(x+1)}=\frac{-x+(x+1)}{x(x+1)^2}=\frac1{x(x+1)^2}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx0{,}25 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}25 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x<-1$ ili $x>0$ je $y'=\frac1{x(x+1)^2} .$

Započni učenje

Online časovi

194.g

Beleške