5613. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: za pozitivnu diferencijabilnu funkciju važi $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Zato je $\frac{y'}{y}=(\ln y)' ,$ tj. $y'=y\cdot(\ln y)' .$ Ovaj postupak (logaritamski izvod) koristimo kada promenljiva stoji i u osnovi i u izložiocu, ili kada je funkcija proizvod i količnik mnogo činilaca. Posmatramo $x>0$ za koje je $x^5+x-7>0$ (npr. $x=2 :$ $32+2-7=27>0$ ).

Logaritmujemo; $\ln x^2=2\ln x ,$ $\ln\sqrt{x+2}=\frac12\ln(x+2) ,$ $\ln\sqrt[4]{x^5+x-7}=\frac14\ln(x^5+x-7) :$

\ln y=\frac13\left(2\ln x+\frac12\ln(x+2)-\frac14\ln(x^5+x-7)\right)

Diferenciramo; poslednji logaritam ima unutrašnju funkciju sa izvodom $5x^4+1 :$

(\ln y)'=\frac13\left(\frac2x+\frac1{2(x+2)}-\frac{5x^4+1}{4(x^5+x-7)}\right)

Množimo sa $y :$

y'=\frac y3\left(\frac2x+\frac1{2(x+2)}-\frac{5x^4+1}{4(x^5+x-7)}\right)

Provera: u tački $x=2$ dobijena formula daje $y'(2)\approx0{,}19 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}19 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Izvod je $y'=\frac y3\left(\frac2x+\frac1{2(x+2)}-\frac{5x^4+1}{4(x^5+x-7)}\right) ,$ gde je $y=\sqrt[3]{\frac{x^2\sqrt{x+2}}{\sqrt[4]{x^5+x-7}}} .$

Započni učenje

Online časovi

200.e

Beleške