5612. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: za pozitivnu diferencijabilnu funkciju važi $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Zato je $\frac{y'}{y}=(\ln y)' ,$ tj. $y'=y\cdot(\ln y)' .$ Ovaj postupak (logaritamski izvod) koristimo kada promenljiva stoji i u osnovi i u izložiocu, ili kada je funkcija proizvod i količnik mnogo činilaca. Posmatramo $x>3 ,$ gde su svi činioci pozitivni.

Logaritmovanje pretvara proizvod u zbir, količnik u razliku, a koren u množenje razlomkom ( $\ln\sqrt[n]a=\frac1n\ln a$ ):

\ln y=\frac12\left(\ln x+\frac13\ln(x-1)+\frac14\ln(x+2)-\frac15\ln(x-3)-\frac17\ln(x+1)\right)

Svaki sabirak diferenciramo po pravilu $[\ln f]'=\frac{f'}f$ ; ovde su sve unutrašnje funkcije oblika $x+c ,$ sa izvodom $1 :$

(\ln y)'=\frac12\left(\frac1x+\frac1{3(x-1)}+\frac1{4(x+2)}-\frac1{5(x-3)}-\frac1{7(x+1)}\right)

Množimo sa $y :$

y'=\frac y2\left(\frac1x+\frac1{3(x-1)}+\frac1{4(x+2)}-\frac1{5(x-3)}-\frac1{7(x+1)}\right)

Provera: u tački $x=4$ dobijena formula daje $y'(4)\approx0{,}2333 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}2333 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x>3$ je $y'=\frac y2\left(\frac1x+\frac1{3(x-1)}+\frac1{4(x+2)}-\frac1{5(x-3)}-\frac1{7(x+1)}\right) ,$ gde je $y=\sqrt{\frac{x\cdot\sqrt[3]{x-1}\cdot\sqrt[4]{x+2}}{\sqrt[5]{x-3}\cdot\sqrt[7]{x+1}}} .$

Započni učenje

Online časovi

200.đ

Beleške