5611. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: za pozitivnu diferencijabilnu funkciju važi $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Zato je $\frac{y'}{y}=(\ln y)' ,$ tj. $y'=y\cdot(\ln y)' .$ Ovaj postupak (logaritamski izvod) koristimo kada promenljiva stoji i u osnovi i u izložiocu, ili kada je funkcija proizvod i količnik mnogo činilaca. Potrebno je $\operatorname{tg}x>0$ i $\sin\frac x2\neq0 .$

Logaritmujemo:

\ln y=\operatorname{ctg}\frac x2\cdot\ln\operatorname{tg}x

Diferenciramo proizvod. Pri tome je $\left(\operatorname{ctg}\frac x2\right)'=-\frac1{2\sin^2\frac x2}$ i $(\ln\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2x\operatorname{tg}x}=\frac1{\sin x\cos x} :$

(\ln y)'=-\frac{\ln\operatorname{tg}x}{2\sin^2\frac x2}+\frac{\operatorname{ctg}\frac x2}{\sin x\cos x}

Množimo sa $y :$

y'=(\operatorname{tg}x)^{\operatorname{ctg}\frac x2}\left(\frac{\operatorname{ctg}\frac x2}{\sin x\cos x}-\frac{\ln\operatorname{tg}x}{2\sin^2\frac x2}\right)

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx6{,}8906 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx6{,}8912 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Izvod je $y'=(\operatorname{tg}x)^{\operatorname{ctg}\frac x2}\left(\frac{\operatorname{ctg}\frac x2}{\sin x\cos x}-\frac{\ln\operatorname{tg}x}{2\sin^2\frac x2}\right) .$

Započni učenje

Online časovi

200.d

Beleške