5614. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: za pozitivnu diferencijabilnu funkciju važi $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Zato je $\frac{y'}{y}=(\ln y)' ,$ tj. $y'=y\cdot(\ln y)' .$ Ovaj postupak (logaritamski izvod) koristimo kada promenljiva stoji i u osnovi i u izložiocu, ili kada je funkcija proizvod i količnik mnogo činilaca. Potrebno je $\ln x>0 ,$ tj. $x>1 .$

Logaritam proizvoda je zbir logaritama:

\ln y=\ln x+(1-\cos x)\ln\ln x

Diferenciramo; $(\ln\ln x)'=\frac{1}{x\ln x} :$

(\ln y)'=\frac1x+\sin x\ln\ln x+(1-\cos x)\frac1{x\ln x}

Množimo sa $y :$

y'=x(\ln x)^{1-\cos x}\left(\frac1x+\sin x\ln\ln x+\frac{1-\cos x}{x\ln x}\right)

Provera: u tački $x=2$ dobijena formula daje $y'(2)\approx1{,}4143 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx1{,}4143 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x>1$ je $y'=x(\ln x)^{1-\cos x}\left(\frac1x+\sin x\ln\ln x+\frac{1-\cos x}{x\ln x}\right) .$

Započni učenje

Online časovi

200.g

Beleške