5609. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: za pozitivnu diferencijabilnu funkciju važi $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Zato je $\frac{y'}{y}=(\ln y)' ,$ tj. $y'=y\cdot(\ln y)' .$ Ovaj postupak (logaritamski izvod) koristimo kada promenljiva stoji i u osnovi i u izložiocu, ili kada je funkcija proizvod i količnik mnogo činilaca. Funkcija je definisana za $x>0 .$

Logaritmujemo; po pravilu $\ln a^b=b\ln a :$

\ln y=x\ln x

Diferenciramo desnu stranu po pravilu za proizvod $(fg)'=f'g+fg' :$

(\ln y)'=\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1

Množimo sa $y=x^x :$

y'=x^x(1+\ln x)

Provera: u tački $x=2$ dobijena formula daje $y'(2)\approx6{,}7726 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx6{,}7733 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x>0$ je $y'=x^x(1+\ln x) .$

Započni učenje

Online časovi

200.a

Beleške