5617. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: za pozitivnu diferencijabilnu funkciju važi $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Zato je $\frac{y'}{y}=(\ln y)' ,$ tj. $y'=y\cdot(\ln y)' .$ Ovaj postupak (logaritamski izvod) koristimo kada promenljiva stoji i u osnovi i u izložiocu, ili kada je funkcija proizvod i količnik mnogo činilaca. Potrebno je $1+\frac1x>0 ,$ tj. $x<-1$ ili $x>0 .$

Logaritmujemo:

\ln y=x\ln\left(1+\frac1x\right)

Diferenciramo proizvod. Za $f=1+\frac1x$ je $f'=-\frac1{x^2} ,$ pa je $\frac{f'}f=\frac{-\frac1{x^2}}{\frac{x+1}x}=-\frac1{x(x+1)} :$

(\ln y)'=\ln\left(1+\frac1x\right)+x\cdot\left(-\frac1{x(x+1)}\right)=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}

Množimo sa $y :$

y'=\left(1+\frac1x\right)^x\left(\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}\right)

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx0{,}3863 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}3863 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x<-1$ ili $x>0$ je $y'=\left(1+\frac1x\right)^x\left(\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}\right) .$

Započni učenje

Online časovi

200.z

Beleške