5615. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: za pozitivnu diferencijabilnu funkciju važi $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Zato je $\frac{y'}{y}=(\ln y)' ,$ tj. $y'=y\cdot(\ln y)' .$ Ovaj postupak (logaritamski izvod) koristimo kada promenljiva stoji i u osnovi i u izložiocu, ili kada je funkcija proizvod i količnik mnogo činilaca. Osnova mora biti pozitivna: $\operatorname{arctg}x>0 ,$ tj. $x>0 .$

Logaritmujemo:

\ln y=x\ln\operatorname{arctg}x

Diferenciramo; $(\ln\operatorname{arctg}x)'=\frac{\frac1{1+x^2}}{\operatorname{arctg}x} :$

(\ln y)'=\ln\operatorname{arctg}x+\frac x{(1+x^2)\operatorname{arctg}x}

Množimo sa $y :$

y'=(\operatorname{arctg}x)^x\left(\ln\operatorname{arctg}x+\frac x{(1+x^2)\operatorname{arctg}x}\right)

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx0{,}3103 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}3103 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x>0$ je $y'=(\operatorname{arctg}x)^x\left(\ln\operatorname{arctg}x+\frac x{(1+x^2)\operatorname{arctg}x}\right) .$

Započni učenje

Online časovi

200.i

Beleške