5610. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: za pozitivnu diferencijabilnu funkciju važi $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Zato je $\frac{y'}{y}=(\ln y)' ,$ tj. $y'=y\cdot(\ln y)' .$ Ovaj postupak (logaritamski izvod) koristimo kada promenljiva stoji i u osnovi i u izložiocu, ili kada je funkcija proizvod i količnik mnogo činilaca. Potrebno je $\sin x>0 .$

Logaritmujemo:

\ln y=\cos x\ln\sin x

Diferenciramo proizvod; $(\ln\sin x)'=\frac{\cos x}{\sin x} :$

(\ln y)'=-\sin x\ln\sin x+\cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}

Množimo sa $y :$

y'=(\sin x)^{\cos x}\left(\frac{\cos^2x}{\sin x}-\sin x\ln\sin x\right)

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx0{,}4483 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}4483 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $\sin x>0$ je $y'=(\sin x)^{\cos x}\left(\frac{\cos^2x}{\sin x}-\sin x\ln\sin x\right) .$

Započni učenje

Online časovi

200.b

Beleške