5591. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: ako je $f(x)>0$ diferencijabilna, onda je $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Po pravilu za izvod količnika, za $g(x)\neq0$ važi $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} .$ Izraz $x+\sqrt{x^2+1}$ je uvek pozitivan, jer je $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}\ge-x .$

Prvi sabirak; brojilac $1+\frac x{\sqrt{x^2+1}}=\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}$ se skraćuje sa $x+\sqrt{x^2+1} :$

\left[\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]'=\frac{1+\frac x{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac1{\sqrt{x^2+1}}

Drugi sabirak po pravilu za količnik:

\left(\frac x{\sqrt{x^2+1}}\right)'=\frac{\sqrt{x^2+1}-x\cdot\frac x{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac1{\sqrt{(x^2+1)^3}}

Oduzimamo, na zajedničkom imeniocu $\sqrt{(x^2+1)^3} :$

y'=\frac{x^2+1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}-\frac1{\sqrt{(x^2+1)^3}}=\frac{x^2}{\sqrt{(x^2+1)^3}}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx0{,}3536 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}3536 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Izvod je $y'=\frac{x^2}{\sqrt{(x^2+1)^3}} .$

Započni učenje

Online časovi

195.d

Beleške