5593. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: ako je $f(x)>0$ diferencijabilna, onda je $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Potrebno je $1-\sin x>0$ i $1+\sin x>0 ,$ tj. $\sin x\neq\pm1 ,$ što je isto što i $\cos x\neq0 .$

Pre diferenciranja uprošćavamo logaritam: koren je stepen $\frac12 ,$ a logaritam količnika je razlika logaritama:

y=\frac12\left[\ln(1-\sin x)-\ln(1+\sin x)\right]

Diferenciramo:

y'=\frac12\left(\frac{-\cos x}{1-\sin x}-\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)=-\frac{\cos x}2\cdot\frac{(1+\sin x)+(1-\sin x)}{1-\sin^2x}

Imenilac je $1-\sin^2x=\cos^2x :$

y'=-\frac{\cos x}2\cdot\frac2{\cos^2x}=-\frac1{\cos x}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx-1{,}8508 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx-1{,}851 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $\cos x\neq0$ je $y'=-\frac1{\cos x} .$

Započni učenje

Online časovi

195.g

Beleške