5590. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: ako je $f(x)>0$ diferencijabilna, onda je $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} .$ Potrebno je $\frac{x^2-1}{x^2+1}>0$ ; imenilac je pozitivan, pa mora biti $x^2>1 ,$ tj. $|x|>1 .$

Za $|x|>1$ su oba izraza pozitivna, pa logaritam količnika pišemo kao razliku logaritama:

y=\frac14\left[\ln(x^2-1)-\ln(x^2+1)\right]

Diferenciramo svaki logaritam po pravilu $[\ln f]'=\frac{f'}f :$

y'=\frac14\left(\frac{2x}{x^2-1}-\frac{2x}{x^2+1}\right)=\frac14\cdot\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{x^4-1}=\frac x{x^4-1}

Provera: u tački $x=2$ dobijena formula daje $y'(2)\approx0{,}1333 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}1333 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $|x|>1$ je $y'=\frac x{x^4-1} .$

Započni učenje

Online časovi

195.b

Beleške