5579. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Po pravilu za izvod proizvoda važi $(fg)'=f'g+fg' .$ Iz gradiva: $(\arcsin u)'=\frac1{\sqrt{1-u^2}}$ za $|u|<1$ i $(\operatorname{arctg}u)'=\frac1{1+u^2} .$ Potrebno je $0\le x\le1$ ; posmatramo $0<x<1 .$ Primetimo da je $\sqrt{x-x^2}=\sqrt{x(1-x)} .$

Prvi sabirak:

\left(\frac12\sqrt{x-x^2}\right)'=\frac12\cdot\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}=\frac{1-2x}{4\sqrt{x(1-x)}}

Drugi sabirak; $\left(\arcsin\sqrt x\right)'=\frac1{\sqrt{1-x}}\cdot\frac1{2\sqrt x} :$

\left(\left(x-\frac12\right)\arcsin\sqrt x\right)'=\arcsin\sqrt x+\left(x-\frac12\right)\frac1{2\sqrt{x(1-x)}}=\arcsin\sqrt x+\frac{2x-1}{4\sqrt{x(1-x)}}

Sabiramo; razlomci $\frac{1-2x}{4\sqrt{x(1-x)}}$ i $\frac{2x-1}{4\sqrt{x(1-x)}}$ su suprotni i potiru se:

y'=\arcsin\sqrt x

Provera: u tački $x=\frac12$ dobijena formula daje $y'(\frac12)\approx0{,}7854 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}7854 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $0<x<1$ je $y'=\arcsin\sqrt x .$

Započni učenje

Online časovi

193.d

Beleške