5549. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod proizvoda važi $(fg)'=f'g+fg' .$ Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) :$ izvod spoljašnje funkcije, računat u unutrašnjoj, puta izvod unutrašnje. Potrebno je $1-x>0 ,$ tj. $x<1 .$

Funkciju pišemo kao proizvod $y=(1+x)(1-x)^{-\frac12} .$ Izvod drugog činioca je $-\frac12(1-x)^{-\frac32}\cdot(-1)=\frac12(1-x)^{-\frac32} :$

y'=(1-x)^{-\frac12}+(1+x)\cdot\frac12(1-x)^{-\frac32}

Izvlačimo $\frac12(1-x)^{-\frac32}$ ; pri tome je $(1-x)^{-\frac12}=(1-x)\cdot(1-x)^{-\frac32} :$

y'=\frac12(1-x)^{-\frac32}\left[2(1-x)+1+x\right]=\frac{3-x}{2\sqrt{(1-x)^3}}

Provera: u tački $x=\frac12$ dobijena formula daje $y'(\frac12)\approx3{,}5355 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx3{,}536 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x<1$ je $y'=\frac{3-x}{2\sqrt{(1-x)^3}} .$

Započni učenje

Online časovi

187.đ

Beleške