5506. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod proizvoda, ako su $f$ i $g$ diferencijabilne u tački $x ,$ važi $(fg)'=f'g+fg' .$ Funkciju posmatramo kao proizvod $f=xe^x$ i $g=\cos x+\sin x .$

Izvod prvog činioca je, opet po pravilu za proizvod, $(xe^x)'=e^x+xe^x=e^x(1+x) ,$ a drugog $(\cos x+\sin x)'=-\sin x+\cos x :$

y'=e^x(1+x)(\cos x+\sin x)+xe^x(\cos x-\sin x)

Izvlačimo $e^x$ i množimo zagrade; članovi $x\sin x$ i $-x\sin x$ se potiru:

y'=e^x\left(\cos x+\sin x+x\cos x+x\sin x+x\cos x-x\sin x\right)=e^x(\cos x+\sin x+2x\cos x)

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx6{,}6934 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx6{,}6936 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Izvod je $y'=e^x(\cos x+\sin x+2x\cos x) .$

Započni učenje

Online časovi

183.i

Beleške