5580. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Potrebno je $\cos x\neq0 .$

Zapisujemo $y=\frac13(\cos x)^{-3}-(\cos x)^{-1} .$ Unutrašnja funkcija $\cos x$ ima izvod $-\sin x :$

y'=\frac13\cdot(-3)(\cos x)^{-4}(-\sin x)-(-1)(\cos x)^{-2}(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^4x}-\frac{\sin x}{\cos^2x}

Svodimo na imenilac $\cos^4x$ i koristimo $1-\cos^2x=\sin^2x :$

y'=\frac{\sin x(1-\cos^2x)}{\cos^4x}=\frac{\sin^3x}{\cos^4x}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx6{,}9915 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx6{,}9943 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x\neq\frac\pi2+k\pi$ je $y'=\frac{\sin^3x}{\cos^4x} .$

Započni učenje

Online časovi

193.đ

Beleške