5581. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Iz gradiva $(\operatorname{ctg}u)'=-\frac1{\sin^2u} .$ Potrebno je $\sin\frac x2\neq0 ,$ tj. $x\neq2k\pi .$

Označimo $c=\operatorname{ctg}\frac x2$ ; tada je $c'=-\frac1{\sin^2\frac x2}\cdot\frac12 .$ Funkcija je $y=\frac12c-\frac16c^3 :$

y'=\frac12c'-\frac16\cdot3c^2c'=\frac12c'\left(1-c^2\right)=-\frac{1-\operatorname{ctg}^2\frac x2}{4\sin^2\frac x2}

Sređujemo: $1-\operatorname{ctg}^2\frac x2=\frac{\sin^2\frac x2-\cos^2\frac x2}{\sin^2\frac x2}=-\frac{\cos x}{\sin^2\frac x2}$ (formula $\cos x=\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2$ ):

y'=\frac{\cos x}{4\sin^4\frac x2}

Po formuli $\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}2$ je $4\sin^4\frac x2=(1-\cos x)^2 :$

y'=\frac{\cos x}{(1-\cos x)^2}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx2{,}5568 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx2{,}5561 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x\neq2k\pi$ je $y'=\frac{\cos x}{(1-\cos x)^2} .$

Započni učenje

Online časovi

193.e

Beleške