5584. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Iz gradiva: $(\arcsin u)'=\frac1{\sqrt{1-u^2}}$ za $|u|<1$ i $(\operatorname{arctg}u)'=\frac1{1+u^2} .$ Potrebno je $\cos\frac x2\neq0 ,$ tj. $x\neq\pi+2k\pi .$

Unutrašnja funkcija je $u=2\operatorname{tg}\frac x2 ,$ $u'=2\cdot\frac1{\cos^2\frac x2}\cdot\frac12=\frac1{\cos^2\frac x2} :$

y'=\frac1{1+4\operatorname{tg}^2\frac x2}\cdot\frac1{\cos^2\frac x2}=\frac1{\cos^2\frac x2+4\sin^2\frac x2}

Koristimo $\cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}2$ i $\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}2 :$

y'=\frac1{\frac{1+\cos x}2+2(1-\cos x)}=\frac2{5-3\cos x}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx0{,}5919 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}5919 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x\neq\pi+2k\pi$ je $y'=\frac2{5-3\cos x} .$

Započni učenje

Online časovi

193.ž

Beleške