5517. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: $(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ i $(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ za $|x|<1 ,$ a $(\operatorname{arctg}x)'=\frac1{1+x^2}$ za svako $x .$ Oblast definisanosti je $\mathbf{R} ,$ jer je $1+x^2>0 .$

Po pravilu za izvod količnika, za $g(x)\neq0$ važi $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} .$ Za prvi sabirak:

\left(\frac x{1+x^2}\right)'=\frac{1\cdot(1+x^2)-x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}

Oduzimamo $(\operatorname{arctg}x)'=\frac1{1+x^2} ,$ koji proširujemo do imenioca $(1+x^2)^2 :$

y'=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}-\frac{1+x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{-2x^2}{(1+x^2)^2}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx-0{,}5 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx-0{,}5 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Funkcija je definisana na $\mathbf{R}$ i $y'=-\frac{2x^2}{(1+x^2)^2} .$

Započni učenje

Online časovi

185.d

Beleške