5522. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: $(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ i $(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ za $|x|<1 ,$ a $(\operatorname{arctg}x)'=\frac1{1+x^2}$ za svako $x .$ Oblast definisanosti je $\mathbf{R} .$

Po pravilu za izvod proizvoda važi $(fg)'=f'g+fg' .$ Za $f=\frac{x^3+x}2$ je $f'=\frac{3x^2+1}2 :$

y'=\frac{3x^2+1}2\operatorname{arctg}x+\frac{x^3+x}2\cdot\frac1{1+x^2}

U drugom sabirku izvlačimo $x :$ $x^3+x=x(x^2+1) ,$ pa se $x^2+1$ skraćuje. Ovaj sabirak se lako izgubi, a nije nula:

\frac{x(x^2+1)}{2(1+x^2)}=\frac x2 \implies y'=\frac{3x^2+1}2\operatorname{arctg}x+\frac x2

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx2{,}0708 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx2{,}071 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Funkcija je definisana na $\mathbf{R}$ i $y'=\frac{3x^2+1}2\operatorname{arctg}x+\frac x2 .$

Započni učenje

Online časovi

185.ž

Beleške