5520. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: $(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ i $(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ za $|x|<1 ,$ a $(\operatorname{arctg}x)'=\frac1{1+x^2}$ za svako $x .$

Oblast definisanosti: oba arkus-a traže $-1\le x\le1 ,$ a imenilac $\arccos x$ je nula za $x=1 .$ Dakle $D=[-1,1)$ ; izvod tražimo za $|x|<1 .$

Po pravilu za izvod količnika, za $g(x)\neq0$ važi $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} .$ Pazite na znak: $(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}} ,$ pa se minus iz pravila i minus iz izvoda poništavaju:

y'=\frac{\frac1{\sqrt{1-x^2}}\arccos x-\arcsin x\cdot\left(-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\right)}{\arccos^2x}

Izvlačimo $\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ u brojiocu:

y'=\frac{\arcsin x+\arccos x}{\sqrt{1-x^2}\,\arccos^2x}

Provera: u tački $x=\frac12$ dobijena formula daje $y'(\frac12)\approx1{,}654 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx1{,}6542 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Funkcija je definisana na $[-1,1) ,$ a za $|x|<1$ je $y'=\frac{\arcsin x+\arccos x}{\sqrt{1-x^2}\,\arccos^2x} .$

Započni učenje

Online časovi

185.g

Beleške