5516. Osnovne teoreme o izvodu

Iz gradiva: $(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ i $(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ za $|x|<1 ,$ a $(\operatorname{arctg}x)'=\frac1{1+x^2}$ za svako $x .$

Oblast definisanosti: potrebno je $-1\le x\le1$ i $\arcsin x\neq0 ,$ a $\arcsin x=0$ samo za $x=0 .$ Dakle $D=[-1,0)\cup(0,1] .$ Izvod tražimo za $0<|x|<1 .$

Po pravilu za izvod količnika, za $g(x)\neq0$ važi $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} .$ Brojilac je konstanta $1 :$

y'=\frac{0\cdot\arcsin x-1\cdot\frac1{\sqrt{1-x^2}}}{\arcsin^2x}=-\frac1{\arcsin^2x\,\sqrt{1-x^2}}

Provera: u tački $x=\frac12$ dobijena formula daje $y'(\frac12)\approx-4{,}2118 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx-4{,}2111 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Oblast definisanosti je $[-1,0)\cup(0,1] ,$ a za $0<|x|<1$ je $y'=-\frac1{\arcsin^2x\,\sqrt{1-x^2}} .$

Započni učenje

Online časovi

185.b

Beleške