5578. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Iz gradiva: $(\arcsin u)'=\frac1{\sqrt{1-u^2}}$ za $|u|<1$ i $(\operatorname{arctg}u)'=\frac1{1+u^2} .$ Posmatramo $x>0 .$

Izvod prvog sabirka je $(2\sqrt x)'=\frac1{\sqrt x} .$ Za drugi: $\sqrt{\frac x2}=\frac{\sqrt x}{\sqrt2}$ ima izvod $\frac1{2\sqrt2\sqrt x} ,$ a $1+\left(\sqrt{\frac x2}\right)^2=1+\frac x2=\frac{x+2}2 :$

\left(2\sqrt2\operatorname{arctg}\sqrt{\frac x2}\right)'=2\sqrt2\cdot\frac2{x+2}\cdot\frac1{2\sqrt2\sqrt x}=\frac2{(x+2)\sqrt x}

Oduzimamo i svodimo na zajednički imenilac $(x+2)\sqrt x :$

y'=\frac1{\sqrt x}-\frac2{(x+2)\sqrt x}=\frac{x+2-2}{(x+2)\sqrt x}=\frac x{(x+2)\sqrt x}=\frac{\sqrt x}{x+2}

Provera: u tački $x=2$ dobijena formula daje $y'(2)\approx0{,}3536 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}3536 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x>0$ je $y'=\frac{\sqrt x}{x+2} .$

Započni učenje

Online časovi

193.b

Beleške