5572. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Po pravilu za izvod proizvoda važi $(fg)'=f'g+fg' .$ Posmatramo $x>0 .$

Svi koreni su izraženi preko $s=\sqrt[4]x$ (jer je $\sqrt x=s^2$ ), pa uvodimo tu oznaku. Tada je $y=(4s^2+s-3)(1+s)^{\frac13}$ i, po pravilu za složenu funkciju, $y'=\frac{dy}{ds}\cdot s' ,$ gde je $s'=\frac14x^{-\frac34}=\frac1{4s^3} .$

Diferenciramo po $s$ pravilom za proizvod:

\frac{dy}{ds}=(8s+1)(1+s)^{\frac13}+(4s^2+s-3)\cdot\frac13(1+s)^{-\frac23}

Izvlačimo $\frac13(1+s)^{-\frac23}$ ; u zagradi je $3(8s+1)(1+s)+4s^2+s-3=28s^2+28s=28s(1+s) :$

\frac{dy}{ds}=\frac{28s(1+s)}{3(1+s)^{\frac23}}=\frac{28}3s(1+s)^{\frac13}

Množimo sa $s'=\frac1{4s^3}$ i vraćamo $s^2=\sqrt x :$

y'=\frac{28}3s(1+s)^{\frac13}\cdot\frac1{4s^3}=\frac{7\sqrt[3]{1+s}}{3s^2}=\frac{7\sqrt[3]{1+\sqrt[4]x}}{3\sqrt x}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx2{,}9398 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx2{,}9397 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x>0$ je $y'=\frac{7\sqrt[3]{1+\sqrt[4]x}}{3\sqrt x} .$

Započni učenje

Online časovi

192.d

Beleške