5528. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Praktično: izvod spoljašnje funkcije, računat u unutrašnjoj, množimo izvodom unutrašnje funkcije. Posmatramo $x>0 .$ Ovde su tri „sloja”: kvadrat, kosinus i razlomak $w=\frac{1-\sqrt x}{1+\sqrt x} .$

Najunutrašnjiji sloj diferenciramo pravilom za količnik $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ ; i brojilac i imenilac sadrže $\sqrt x$ čiji je izvod $\frac1{2\sqrt x} :$

w'=\frac{-\frac1{2\sqrt x}(1+\sqrt x)-(1-\sqrt x)\frac1{2\sqrt x}}{(1+\sqrt x)^2}=\frac{-\frac1{2\sqrt x}\cdot2}{(1+\sqrt x)^2}=-\frac1{\sqrt x(1+\sqrt x)^2}

Spoljašnji slojevi: $(\cos^2w)'=2\cos w\cdot(-\sin w)=-\sin2w$ (formula $\sin2w=2\sin w\cos w$ ). Množimo sa $w'$ ; dva minusa daju plus:

y'=-\sin2w\cdot\left(-\frac1{\sqrt x(1+\sqrt x)^2}\right)=\frac{\sin\left(2\cdot\frac{1-\sqrt x}{1+\sqrt x}\right)}{\sqrt x(1+\sqrt x)^2}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx0 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x>0$ je $y'=\frac{\sin\left(2\cdot\frac{1-\sqrt x}{1+\sqrt x}\right)}{\sqrt x\,(1+\sqrt x)^2} .$

Započni učenje

Online časovi

186.e

Beleške