5596. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod proizvoda važi $(fg)'=f'g+fg' .$ Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) .$ Iz gradiva $(\arccos u)'=-\frac1{\sqrt{1-u^2}}$ za $|u|<1 .$ Izraz $w=\frac{1-x^2}{1+x^2}$ je uvek u $(-1,1] ,$ pa je funkcija definisana za svako $x .$

Izvod unutrašnje funkcije i izraz pod korenom:

w'=\frac{-2x(1+x^2)-(1-x^2)2x}{(1+x^2)^2}=-\frac{4x}{(1+x^2)^2}, \qquad 1-w^2=\frac{(1+x^2)^2-(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}=\frac{4x^2}{(1+x^2)^2}

Za $x\neq0$ je $|w|<1 .$ Pazite: $\sqrt{4x^2}=2\sqrt{x^2} ,$ a $\sqrt{x^2}=x$ samo za $x>0 ,$ dok je za $x<0$ $\sqrt{x^2}=-x :$

(\arccos w)'=-\frac{1+x^2}{2\sqrt{x^2}}\cdot\left(-\frac{4x}{(1+x^2)^2}\right)=\frac{2x}{(1+x^2)\sqrt{x^2}}

Pravilo za proizvod $y=x\cdot\arccos w ,$ pa razdvajamo slučajeve po znaku $x :$

y'=\arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}+\frac{2x^2}{(1+x^2)\sqrt{x^2}}=\begin{cases} \arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}+\frac{2x}{1+x^2}, & x>0 \\ \arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}-\frac{2x}{1+x^2}, & x<0 \end{cases}

U tački $x=0$ pravilo za $\arccos$ ne važi (tu je $w=1$ ), pa koristimo definiciju izvoda. Pošto je $y(0)=0 ,$ a $\arccos w$ se neprekidno približava $\arccos1=0 :$

y'(0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x\cdot\arccos\frac{1-\Delta x^2}{1+\Delta x^2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\arccos\frac{1-\Delta x^2}{1+\Delta x^2}=\arccos1=0

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx2{,}5708 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx2{,}5708 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Izvod je $y'=\arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}+\frac{2x}{1+x^2}$ za $x>0 ,$ $y'=\arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}-\frac{2x}{1+x^2}$ za $x<0 ,$ i $y'(0)=0 .$

Započni učenje

Online časovi

196.b

Beleške