Ugao između dijagonala pravougaonika površine 100

Dijagonale pravougaonika su jednake dužine i polove se. Označimo dužinu dijagonale sa $d = 21 \text{ cm} ,$ a površinu sa $P = 100 \text{ cm}^2 .$

Dijagonale dele pravougaonik na četiri trougla jednakih površina. Površina jednog takvog trougla je četvrtina ukupne površine pravougaonika.

P_{\triangle} = \frac{P}{4} = \frac{100}{4} = 25 \text{ cm}^2

Neka je $\varphi$ ugao između dijagonala. Posmatrajmo jedan od trouglova koji formiraju dijagonale. Njegove dve stranice su polovine dijagonala, odnosno $\frac{d}{2} ,$ a ugao između njih je $\varphi .$

\frac{d}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \text{ cm}

Površina ovog trougla se može izraziti pomoću formule za površinu trougla kada su poznate dve stranice i ugao između njih.

P_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \sin \varphi

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu za površinu trougla.

25 = \frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2} \cdot \frac{21}{2} \cdot \sin \varphi

Sređujemo izraz na desnoj strani jednačine.

25 = \frac{1}{2} \cdot \frac{441}{4} \cdot \sin \varphi

Množenjem razlomaka dobijamo:

25 = \frac{441}{8} \cdot \sin \varphi

Množimo celu jednačinu sa $8$ kako bismo se oslobodili razlomka.

200 = 441 \cdot \sin \varphi

Izražavamo $\sin \varphi$ deljenjem sa $441 .$

\sin \varphi = \frac{200}{441}

Ugao $\varphi$ nalazimo primenom inverzne sinusne funkcije (arkus sinus).

\varphi = \arcsin \left( \frac{200}{441} \right)

Započni učenje

Online časovi

1011

Beleške