2970.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

Dat je konveksan četvorougao ABCD ABCD čije su stranice i dijagonala AC AC poznate: AB=32, AB = 32 , BC=34, BC = 34 , DA=20, DA = 20 , AC=17. AC = 17 . Izračunati ugao između dijagonala.

REŠENJE ZADATKA

Da bismo izračunali ugao između dijagonala, prvo analiziramo poznate elemente. U trouglu △ABC \triangle ABC poznate su sve tri stranice: AB=32, AB = 32 , BC=34 BC = 34 i AC=17. AC = 17 . Primenom kosinusne teoreme možemo naći ugao ∠BAC. \angle BAC .

BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡∠BACBC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC

Zamenom datih vrednosti računamo cos⁡∠BAC: \cos \angle BAC :

342=322+172−2⋅32⋅17⋅cos⁡∠BAC1156=1024+289−1088⋅cos⁡∠BAC1088⋅cos⁡∠BAC=1313−1156cos⁡∠BAC=157108834^2 = 32^2 + 17^2 - 2 \cdot 32 \cdot 17 \cdot \cos \angle BAC \\ 1156 = 1024 + 289 - 1088 \cdot \cos \angle BAC \\ 1088 \cdot \cos \angle BAC = 1313 - 1156 \\ \cos \angle BAC = \frac{157}{1088}

Za izračunavanje površine △ABC \triangle ABC koristimo formulu P=absin⁡γ2. P = \frac{ab \sin \gamma}{2} . Vrednost sinusa nalazimo iz osnovnog trigonometrijskog identiteta:

sin⁡∠BAC=1−cos⁡2∠BAC=1−(1571088)2=11590951088\sin \angle BAC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \left(\frac{157}{1088}\right)^2} = \frac{\sqrt{1159095}}{1088}

Površina trougla △ABC \triangle ABC iznosi:

PABC=12AB⋅AC⋅sin⁡∠BAC=12⋅32⋅17⋅11590951088=11590954P_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 17 \cdot \frac{\sqrt{1159095}}{1088} = \frac{\sqrt{1159095}}{4}

Analiziramo sada trougao △ADC. \triangle ADC . Poznate su samo dve stranice: AD=20 AD = 20 i AC=17. AC = 17 . Dužina stranice CD CD nije data u tekstu zadatka. Površina ovog trougla zavisi od ugla ∠CAD: \angle CAD :

PADC=12AD⋅AC⋅sin⁡∠CAD=12⋅20⋅17⋅sin⁡∠CAD=170⋅sin⁡∠CADP_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC \cdot \sin \angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 17 \cdot \sin \angle CAD = 170 \cdot \sin \angle CAD

Površina celog četvorougla se može izraziti kao zbir površina ova dva trougla, ali i preko dijagonala i ugla između njih (ϕ \phi ):

PABCD=PABC+PADC=12AC⋅BD⋅sin⁡ϕP_{ABCD} = P_{ABC} + P_{ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \phi

Da bismo izračunali tačnu vrednost ugla ϕ, \phi , neophodno je znati dužinu stranice CD CD (kako bismo fiksirali teme D D ). Bez stranice CD, CD , teme D D može slobodno da se kreće po kružnici poluprečnika 20 sa centrom u A, A , pa samim tim ni dijagonala BD BD ni ugao ϕ \phi nisu jednoznačno određeni. Zadatak je matematički nepotpun jer nedostaje podatak o četvrtoj stranici ili nekom uglu.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti