Ugao između dijagonala konveksnog četvorougla

Da bismo izračunali ugao između dijagonala, prvo analiziramo poznate elemente. U trouglu $\triangle ABC$ poznate su sve tri stranice: $AB = 32 ,$ $BC = 34$ i $AC = 17 .$ Primenom kosinusne teoreme možemo naći ugao $\angle BAC .$

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC

Zamenom datih vrednosti računamo $\cos \angle BAC :$

34^2 = 32^2 + 17^2 - 2 \cdot 32 \cdot 17 \cdot \cos \angle BAC \\ 1156 = 1024 + 289 - 1088 \cdot \cos \angle BAC \\ 1088 \cdot \cos \angle BAC = 1313 - 1156 \\ \cos \angle BAC = \frac{157}{1088}

Za izračunavanje površine $\triangle ABC$ koristimo formulu $P = \frac{ab \sin \gamma}{2} .$ Vrednost sinusa nalazimo iz osnovnog trigonometrijskog identiteta:

\sin \angle BAC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \left(\frac{157}{1088}\right)^2} = \frac{\sqrt{1159095}}{1088}

Površina trougla $\triangle ABC$ iznosi:

P_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 17 \cdot \frac{\sqrt{1159095}}{1088} = \frac{\sqrt{1159095}}{4}

Analiziramo sada trougao $\triangle ADC .$ Poznate su samo dve stranice: $AD = 20$ i $AC = 17 .$ Dužina stranice $CD$ nije data u tekstu zadatka. Površina ovog trougla zavisi od ugla $\angle CAD :$

P_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC \cdot \sin \angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 17 \cdot \sin \angle CAD = 170 \cdot \sin \angle CAD

Površina celog četvorougla se može izraziti kao zbir površina ova dva trougla, ali i preko dijagonala i ugla između njih ( $\phi$ ):

P_{ABCD} = P_{ABC} + P_{ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \phi

Da bismo izračunali tačnu vrednost ugla $\phi ,$ neophodno je znati dužinu stranice $CD$ (kako bismo fiksirali teme $D$ ). Bez stranice $CD ,$ teme $D$ može slobodno da se kreće po kružnici poluprečnika 20 sa centrom u $A ,$ pa samim tim ni dijagonala $BD$ ni ugao $\phi$ nisu jednoznačno određeni. Zadatak je matematički nepotpun jer nedostaje podatak o četvrtoj stranici ili nekom uglu.

Započni učenje

Online časovi

1012

Beleške