1610. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Na osnovu Vijetovih formula za kvadratnu jednačinu $ax^2 + bx + c = 0$ važi $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ i $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} .$ Za datu jednačinu $x^2 + px - q = 0$ imamo:

\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = -q \end{cases}

Kako su koeficijenti $p$ i $q$ ujedno i rešenja jednačine, možemo zameniti $x_1 = p$ i $x_2 = q$ u prethodni sistem:

\begin{cases} p + q = -p \\ p \cdot q = -q \end{cases}

Sređivanjem prve jednačine dobijamo vezu između $p$ i $q :$

p + p + q = 0 \implies 2p + q = 0 \implies q = -2p

Sređivanjem druge jednačine dobijamo:

pq + q = 0 \implies q(p + 1) = 0

Iz jednačine $q(p + 1) = 0$ sledi da je $q = 0$ ili $p + 1 = 0 .$ Razmotrićemo oba slučaja. Prvi slučaj, ako je $q = 0 ,$ zamenom u prvu jednačinu dobijamo:

2p + 0 = 0 \implies p = 0

Drugi slučaj, ako je $p + 1 = 0 ,$ odnosno $p = -1 ,$ zamenom u prvu jednačinu dobijamo:

2(-1) + q = 0 \implies -2 + q = 0 \implies q = 2

Dakle, traženi realni koeficijenti koji su ujedno i rešenja date jednačine su:

(p, q) \in \{(0, 0), (-1, 2)\}

229