Vietove formule: zbir recipročnih kvadrata rešenja

Zapisujemo Vijetove formule za datu kvadratnu jednačinu:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{i} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Transformišemo zadati izraz svodeći razlomke na zajednički imenilac kako bismo mogli da upotrebimo Vijetove formule.

\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 \cdot x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 \cdot x_2)^2}

Zbir kvadrata u brojiocu, to jest izraz $x_1^2 + x_2^2 ,$ izražavamo preko kvadrata binoma.

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Zamenjujemo ovu transformaciju u prethodni izraz.

\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 \cdot x_2)^2}

Sada u dobijeni izraz menjamo vrednosti za zbir i proizvod rešenja iz Vijetovih formula.

\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2\left(\frac{c}{a}\right)}{\left(\frac{c}{a}\right)^2}

Kvadriramo izraze u brojiocu i imeniocu.

\frac{\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}}

Svodimo izraze u brojiocu na zajednički imenilac $a^2 .$

\frac{\frac{b^2 - 2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}}

Sređujemo dvojni razlomak skraćivanjem imenioca $a^2$ i dobijamo konačno rešenje.

\frac{b^2 - 2ac}{c^2}

171.g