1606. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Množenjem jednačine sa $(x - m)(x - 2m)$ oslobađamo se razlomaka:

x - 2m + x - m = (x - m)(x - 2m)

Sređivanjem leve i desne strane dobijamo:

2x - 3m = x^2 - 3mx + 2m^2

Prebacivanjem svih članova na desnu stranu formiramo kvadratnu jednačinu oblika $ax^2 + bx + c = 0 :$

x^2 - 3mx - 2x + 2m^2 + 3m = 0

Grupisanjem članova uz $x$ dobijamo:

x^2 - (3m + 2)x + 2m^2 + 3m = 0

Da bi rešenja kvadratne jednačine bila realna, njena diskriminanta mora biti veća ili jednaka nuli. Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac :$

D = (-(3m + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m^2 + 3m)

Kvadriranjem binoma i množenjem dobijamo:

D = 9m^2 + 12m + 4 - 8m^2 - 12m

Sređivanjem izraza za diskriminantu dobijamo:

D = m^2 + 4

Pošto je kvadrat svakog realnog broja nenegativan ( $m^2 \ge 0$ ), sledi da je:

m^2 + 4 > 0

Kako je diskriminanta strogo veća od nule za svako $m \in \mathbf{R} ,$ zaključujemo da jednačina uvek ima dva različita realna rešenja, čime je dokaz završen.

228