1607. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Na osnovu Vijetovih formula za kvadratnu jednačinu $ax^2 + bx + c = 0$ važi:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Primenjujemo Vijetove formule na datu jednačinu $x^2 - 8x + 2 = 0 :$

x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1} = 8, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{1} = 2

Neka je $S$ zbir rešenja nove jednačine. Računamo $S :$

S = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2}

Izraz $x_1^2 + x_2^2$ možemo zapisati preko zbira i proizvoda rešenja kao $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 .$ Zamenjujemo poznate vrednosti:

S = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2} = \frac{8^2 - 2 \cdot 2}{2^2} = \frac{64 - 4}{4} = \frac{60}{4} = 15

Neka je $P$ proizvod rešenja nove jednačine. Računamo $P :$

P = \frac{1}{x_1^2} \cdot \frac{1}{x_2^2} = \frac{1}{(x_1 x_2)^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

Nova kvadratna jednačina ima oblik $x^2 - Sx + P = 0 .$ Zamenjujemo izračunate vrednosti:

x^2 - 15x + \frac{1}{4} = 0

Množenjem jednačine sa $4$ dobijamo konačan oblik sa celobrojnim koeficijentima:

4x^2 - 60x + 1 = 0

227