1609. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Na osnovu Vijetovih formula za polaznu kvadratnu jednačinu $x^2 + px + q = 0$ važi:

x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q

Neka su rešenja nove kvadratne jednačine $y_1$ i $y_2 .$ Prema uslovu zadatka imamo:

y_1 = \frac{x_1 + 1}{x_1}, \quad y_2 = \frac{x_2 + 1}{x_2}

Nova kvadratna jednačina, na osnovu Vijetovih formula, ima oblik:

y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 \cdot y_2 = 0

Računamo zbir rešenja nove jednačine $y_1 + y_2 :$

y_1 + y_2 = \frac{x_1 + 1}{x_1} + \frac{x_2 + 1}{x_2} = \frac{x_2(x_1 + 1) + x_1(x_2 + 1)}{x_1 x_2}

Sređujemo izraz u brojiocu:

y_1 + y_2 = \frac{x_1 x_2 + x_2 + x_1 x_2 + x_1}{x_1 x_2} = \frac{2x_1 x_2 + (x_1 + x_2)}{x_1 x_2}

Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula ( $x_1 + x_2 = -p$ i $x_1 x_2 = q$ ):

y_1 + y_2 = \frac{2q - p}{q}

Zatim računamo proizvod rešenja nove jednačine $y_1 \cdot y_2 :$

y_1 \cdot y_2 = \frac{x_1 + 1}{x_1} \cdot \frac{x_2 + 1}{x_2} = \frac{(x_1 + 1)(x_2 + 1)}{x_1 x_2}

Množimo izraze u brojiocu:

y_1 \cdot y_2 = \frac{x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1}{x_1 x_2} = \frac{x_1 x_2 + (x_1 + x_2) + 1}{x_1 x_2}

Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula:

y_1 \cdot y_2 = \frac{q - p + 1}{q}

Zamenjujemo dobijeni zbir i proizvod u opšti oblik nove jednačine:

y^2 - \frac{2q - p}{q}y + \frac{q - p + 1}{q} = 0

Množenjem cele jednačine sa $q$ (uz uslov $q \neq 0$ ) dobijamo konačan oblik tražene jednačine:

q y^2 - (2q - p)y + (q - p + 1) = 0

226