Vietove formule: priroda i znak rešenja, parametar m

Određujemo koeficijente date kvadratne jednačine.

a = m, \quad b = 2(m - 6), \quad c = m - 3

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine $D = b^2 - 4ac .$

\begin{aligned} D &= (2(m - 6))^2 - 4 \cdot m \cdot (m - 3) \\ D &= 4(m^2 - 12m + 36) - 4m^2 + 12m \\ D &= 4m^2 - 48m + 144 - 4m^2 + 12m \\ D &= -36m + 144 \\ D &= -36(m - 4) \end{aligned}

Zapisujemo Vijetove formule za datu jednačinu. Neka su $x_1$ i $x_2$ rešenja jednačine, tada važi:

\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = -\frac{2(m - 6)}{m} \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} = \frac{m - 3}{m} \end{aligned}

Da bismo ispitali prirodu i znak rešenja, analiziramo znak diskriminante $D ,$ proizvoda rešenja $P = x_1 \cdot x_2$ i zbira rešenja $S = x_1 + x_2 .$ Određujemo nule ovih izraza kako bismo formirali tabelu znakova.

\begin{aligned} D = 0 &\implies m = 4 \\ P = 0 &\implies m = 3 \\ S = 0 &\implies m = 6 \end{aligned}

Pored nula izraza, prekidna tačka je $m = 0$ (zbog imenioca i uslova zadatka). Formiramo tabelu znakova za intervale određene tačkama $0, 3, 4, 6 .$

m \in (-\infty, 0)

m \in (0, 3)

m \in (3, 4)

m \in (4, 6)

m \in (6, +\infty)

D

+

+

+

-

-

P

+

-

+

+

+

S

-

+

+

+

-//

Na osnovu tabele, analiziramo prvi slučaj kada je $m \in (-\infty, 0) .$ Diskriminanta je pozitivna, pa su rešenja realna i različita. Proizvod je pozitivan, a zbir negativan.

D > 0, \quad P > 0, \quad S < 0 \implies x_1 < 0, \quad x_2 < 0

Analiziramo slučaj kada je $m \in (0, 3) .$ Diskriminanta je pozitivna, pa su rešenja realna i različita. Proizvod je negativan, što znači da su rešenja suprotnog znaka.

D > 0, \quad P < 0 \implies x_1 < 0 < x_2

Ispitujemo graničnu vrednost $m = 3 .$ Diskriminanta je pozitivna, proizvod rešenja je nula, a zbir je pozitivan.

D > 0, \quad P = 0, \quad S > 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 > 0

Analiziramo slučaj kada je $m \in (3, 4) .$ Diskriminanta je pozitivna, pa su rešenja realna i različita. Proizvod i zbir su pozitivni.

D > 0, \quad P > 0, \quad S > 0 \implies x_1 > 0, \quad x_2 > 0

Ispitujemo graničnu vrednost $m = 4 .$ Diskriminanta je jednaka nuli, pa su rešenja realna i jednaka. Zbir i proizvod su pozitivni.

D = 0, \quad P > 0, \quad S > 0 \implies x_1 = x_2 > 0

Analiziramo slučaj kada je $m \in (4, +\infty) .$ Diskriminanta je negativna, pa jednačina nema realna rešenja, već su rešenja konjugovano kompleksna.

D < 0 \implies x_1, x_2 \in \mathbf{C}, \quad x_1 = \overline{x_2}

Započni učenje

Privatni časovi

230

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci