1581.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Rešenja kvadratne jednačine x2−(p−2)x+3=0 x^2 - (p - 2)x + 3 = 0 (p∈R p \in \mathbf{R} ) zadovoljavaju uslov 1x1+1x2>1 \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > 1 ako i samo ako je p>5. p > 5 . Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Za svaku kvadratnu jednačinu oblika ax2+bx+c=0, ax^2 + bx + c = 0 , zbir i proizvod njenih rešenja dati su Vijetovim formulama:

x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

U našem slučaju, koeficijenti jednačine su a=1, a = 1 , b=−(p−2) b = -(p - 2) i c=3. c = 3 . Primenom Vijetovih formula dobijamo:

x1+x2=p−2,x1⋅x2=3x_1 + x_2 = p - 2, \quad x_1 \cdot x_2 = 3

Sređujemo izraz iz uslova zadatka svođenjem sabiraka na zajednički imenilac:

1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}

Zamenjujemo vrednosti dobijene iz Vijetovih formula u sređeni izraz:

x1+x2x1⋅x2=p−23\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{p - 2}{3}

Prema uslovu zadatka, ovaj izraz mora biti strogo veći od 1, pa postavljamo nejednačinu:

p−23>1\frac{p - 2}{3} > 1

Množimo obe strane nejednačine sa 3. Kako je 3 pozitivan broj, znak nejednakosti se ne menja:

p−2>3p - 2 > 3

Dodavanjem broja 2 obema stranama dobijamo konačan uslov za parametar p: p :

p>5p > 5

Ovim smo pokazali da iz datog uslova sledi p>5. p > 5 . S obzirom na to da su svi koraci u rešavanju ekvivalencije, važi i obrnuto. Time je dokaz uspešno završen.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti