Vietove formule: dokaz da je 1/x1 + 1/x2 > 1 za p > 5

Za svaku kvadratnu jednačinu oblika $ax^2 + bx + c = 0 ,$ zbir i proizvod njenih rešenja dati su Vijetovim formulama:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

U našem slučaju, koeficijenti jednačine su $a = 1 ,$ $b = -(p - 2)$ i $c = 3 .$ Primenom Vijetovih formula dobijamo:

x_1 + x_2 = p - 2, \quad x_1 \cdot x_2 = 3

Sređujemo izraz iz uslova zadatka svođenjem sabiraka na zajednički imenilac:

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}

Zamenjujemo vrednosti dobijene iz Vijetovih formula u sređeni izraz:

\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{p - 2}{3}

Prema uslovu zadatka, ovaj izraz mora biti strogo veći od 1, pa postavljamo nejednačinu:

\frac{p - 2}{3} > 1

Množimo obe strane nejednačine sa 3. Kako je 3 pozitivan broj, znak nejednakosti se ne menja:

p - 2 > 3

Dodavanjem broja 2 obema stranama dobijamo konačan uslov za parametar $p :$

p > 5

Ovim smo pokazali da iz datog uslova sledi $p > 5 .$ S obzirom na to da su svi koraci u rešavanju ekvivalencije, važi i obrnuto. Time je dokaz uspešno završen.

Započni učenje

Privatni časovi

215

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci